起手牌范围和筹码深浅的关系

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无限德州扑克里面,评估起手牌的质量,必须要考虑到筹码深度。玩家会有感觉,当筹码很浅的时候,AJo、KQo这样的牌有比较强的战斗力,65s则没什么使用价值。筹码很深的时候,情况正好反过来,AJo、KQo开始失去优势,65s这种造顺子和造同花能力都较强的牌价值上升很多,甚至超过前者。


这种牌力随着筹码深度而变化的现象,能不能量化?笔者最近提出了一个方案,叫做起手牌的“可玩指数”,其目的正是量化这种现象。


起手牌牌力发生变化,其根本是不同筹码深度下我们的“目标”不同。在50BB下,我们的目标是到河牌形成顶对顶踢脚或者超对,更强的牌力未免有点“浪费”;而在500BB下,我们目标则变为顺子、同花、暗三或者葫芦,这时候一副对子的牌力就显得“不够”了。


对比A7o和JTs两手牌,它们翻牌前的equity之比是51.5:48.5,可算作势均力敌。然而,我们会认为筹码较浅的时候,A7o更适合玩,而较深筹码时,JTs更好。


之所以出现这种情况,是因为JTs “造较大牌”能力跟A7o差不多,而“造很大牌”的能力远高于A7o。在随机的五张公牌面上,对比二者“造较大牌”的能力,JTs有23.6%的几率能排进前18%,而A7o有27.2%的几率排进前18%,二者相差不多;对比二者“造很大牌”的能力,JTs有13.2%的几率能排进前5%,而A7o仅有4.3%的几率排进前5%,二者相差两倍多。


再来看另一对翻牌前equity非常接近的起手牌:AJo和44。AJo造顺子和同花能力都不强,但造顶对的能力很强。44则有较高的造暗三、葫芦的能力,但除此之外基本没有可取之处。这造成了AJo是短筹码的宠儿,而44适合比较深的筹码。随机的公牌面上,AJo有47.8%的几率排名前30%;而44仅有23%的几率做成这样的好牌,远远落后于AJo,尚不及一手随机起手牌。到了制造顶级大牌,情况就反过来了:AJo仅有5%的几率做成前3%的超级强牌,而44则有8.6%的几率做成这样的超级强牌。



Q:“做成前xx%的好牌”这样的表述,我不太理解?

A:我来解释一下。


比如,我拿着AA。我没看见的牌还有50张。其中2张是对手的牌,5张是尚未发出的公牌面。


对手的牌有C(50,2)=1225种,公牌面有C(48,5)=1,712,304种。


要计算我们的牌对对手(随机牌)的equity,就要模拟1225*1712304=2,097,572,400 (20多亿个结果)


当然也可以先算公牌面C(50,5)=2,118,760种,对手的牌有C(45,2)=990种,总结果数仍然是2,097,572,400。两种算法完全一致。


这20多亿个结果里面,AA大约能胜出17.8亿,输掉剩下的3.2亿。所以AA的赢率是17.8/20.9 = 85%


这种在所有20多亿个结果中直接统计输赢的方法,就是大多数软件计算equity的方法。起手牌×公牌面的20多亿个组合一视同仁,不加区分。



现在我们来对这20多亿个组合进行分组。


第1种分组方式-------------------


按照对手的1225手牌进行分组,分成1225组。


比如当对手是KQ♠的时候,5张公牌面共有1,712,304种。其中,我们赢150万,输27万,AA的equity是86.9%。对手是44♠的时候,我们再统计这1,712,304种当中的输赢,算出我们equity是82%。


也就是说,这种分组方式,能计算出AA对于所有特定起手牌的equity。这很直观。


| 第2种分组方式-------------------


第二种分组方式的结果稍微不那么直观,但它正是我们计算的基础。


我们先按照公牌面分组,也就是说,把20多亿个结果分为2,118,760组。每组的成员990个,分别是对手的990手起手牌。每一组里面的公牌面都是一样的。然后,在每一组内部,我们再统计AA的equity。这个equity代表公牌面固定时我们的底牌对对手随机牌的equity。


比如,假设某一组公牌面是KQJ4♠4,在这样的公牌面下,AA赢868次,输122次,equity是87.73%。可见牌面虽然有顺面,但无同花面、有公对,AA赢面并不算低。


再比如,有一组是8765♠2,4张顺面还带三张花,AA的equity只有54.21%。可见在非常湿滑的牌面,AA赢率比随机起手牌高不了多少。


再比如,在AT♠T♠32这一组,AA是顶葫芦,只输给四条,equity是99.9%。


继续列举公牌面,直到所有2,118,760都列举完,我们会得到2,118,760个百分数,每个都代表AA在某一指定公牌面上的表现。这2,118,760个数字,体现出AA的equity在各公牌面的分布情况。



我们发现,在这2,118,760个百分数中,有91.8%都大于30%,有28.3%都大于10%,有17.1%都大于5%。这些数字的意思是说,AA在随机的公牌面上对随机牌,有91.8%的概率能排进前30%,有28.3%的概率能排进前10%,有17.1%的概率能排进前5%。


一手“实力平均”的牌,应该有正好30%的概率排进前30%,而AA却有91.8%的概率能排进前30%。如果我们把前30%的牌力定位为靶标,那么我们可以说,AA的中靶率是91.8%/30%=3.06,达到平均值的3倍以上。


同理,如果我们把10%作为靶标,AA的中靶率是28.3%/10%=2.83;把5%作为靶标,AA的中靶率是17.1%/5%=3.42。



定义:可玩指数是指某一起手牌在特定筹码深度时“应该玩”的程度。可玩指数越高,越应该玩;可玩指数越低,越应该抛弃。


衡量办法:给定某起手牌,对上单一对手的纯随机牌,根据筹码深度的不同,设定一个“靶标值”前n%,如果这手牌在所有公牌面上的河牌Equity落在top n%,称为“中靶”。中靶概率是h%,则h/n称为这手牌在该筹码深度下的【可玩指数】。


靶标值n%的取值:显然在这个衡量系统中,靶标值的选取非常关键。影响靶标值选取的唯一系数是有效筹码深度。筹码越深则n%越小,含义是,深筹码下我们目标应该是河牌能做成“非常大”的那些牌,浅筹码下n%较小,含义是我们的目标是“比较大但不用太大”的那些牌。n%与筹码深度不是严格线性关系,这跟扑克的性质有关。翻前的大牌在翻后不会以同等概率领先,而是不断变弱。一部分翻前的弱牌反而会变强。也就是说,牌的强度会随着公牌的发展而趋向模糊化,均匀化。


经笔者反复研究,暂定的靶标值取值如下:

筹码深度靶标值n%
15BB40%
20BB30%
50BB18%
100BB12%
150BB10%
200BB8%
500BB5%
1000BB3.3%

  

下面几张图,给出了筹码深度从15BB到1000BB的可玩指数。图片是染色的,数值越高越偏绿色;越低越偏红色。


*suited:同花 / offsuit:不同花 / pair:对子


↑ 可玩指数,有效筹码=15BB,n%=40%

 可玩指数,有效筹码=20BB,n%=30%

 可玩指数,有效筹码=50BB,n%=18%

 可玩指数,有效筹码=100BB,n%=12%

 可玩指数,有效筹码=150BB,n%=10%

 可玩指数,有效筹码=200BB,n%=8%

 可玩指数,有效筹码=500BB,n%=5%

 可玩指数,有效筹码=1000BB,n%=3.3%


这些图片中可以看出一些很有趣的趋势:


1 | 高张

筹码越低,高张越重要。筹码越高,高张如果没有其他性能辅助,变得不可玩。1000BB下ATo可玩性还不如Q2s。


2 | 同花底牌

低筹码的时候底牌同花与否几乎不起到任何作用。直到100BB深度时,同花的作用才显著起来,到200BB以上,同花全面压倒杂色,连A6s都比AKo的可玩指数要高。


3 | 连张

跟同花类似,低筹码几乎不起任何作用。到了较深筹码,才开始突出威力。但连张的可玩性的提升似乎不如同花那么显著。


4 | 对子

AA/KK,无论何种筹码深度都是怪兽级别的。但中等对子和小对子的命运随着筹码深度变化很大。中等对子JJ-77,在筹码20BB以下可玩指数很高,因为他们即使到河底不是超对也有相当的战斗力;到50BB和100BB,他们的可玩指数相对下降,因为这个深度造set略显不够,可是单靠一对到河底牌力也不足了;到150BB以上,可玩指数再次上升,因为他们造set的潜在回报足够大了。小对子66-22,中筹码和深筹码的表现跟中等对子类似,唯一的区别是它们在20BB下的浅筹码战斗力不够,因为单靠本身牌力不够支撑到河牌比大小。


声明:“可玩指数”是一个初级产品,它没有考虑位置、对手风格特点、牌局动态等。只如何应用可玩指数,也处于探索阶段。目前仅能用于参考。


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