凯利公式与下注

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凯利公式

去娱乐场，基本胜算是很低的，可当你身处拉斯维加斯和澳门的娱乐场时，是不是总想进去试一把？那么有没有一种游戏让你能够席卷庄家，为我们客户出出气，答案是，有。如果你玩的好，你有很大机会战胜庄家，且方法是合法的。这个游戏就是：“二十一点”。

有一本畅销全球的书，叫《战胜庄家：二十一点取胜策略》，作者是爱德华·索普，他是个训练有素的数学家，在书中，他描述了战胜庄家的方法。

索普的策略基于一个简单的概念，当桌上有很多大牌(例如10,人头、A)时，相对于庄家而言，玩家(比如你)便具备了统计学上胜出的优势。玩家可以在心中算牌，如果每遇到大牌就减一分，每遇到小牌就加一分，在脑子里记住这些加加减减的流水账，当计算的数字转为正时，你就知道会有更好的牌出现。聪明的玩家会在最佳机会出现之时，押上他们最佳的赌注。

隐含在索普这本书中的就是凯利公式投注模型。

先百科一下凯利公式：在机率论中，凯利公式（也称凯利方程式）是一个用以使特定赌局中，拥有正期望值之重复行为长期增长率最大化的公式，由约翰·拉里·凯利於 1956 年在《贝尔系统技术期刊》中发表，可用以计算出每次游戏中应投注的资金比例。

其中

• f* 为现有资金应进行下次投注的比例；

• b 为投注可得的赔率；

• p 为获胜概率；

• q 为落败概率，即 1 - p；

[概率]：指一个事件发生的可能性

[赔率]：指事件发生后预期盈利与可能亏损的比值，即：期望的盈利/可能的亏损。

举例而言，若一游戏有 40% 的获胜率（p = 0.4，q = 0.6），而赌客在赢得赌局时，可获得二对一的赔率（b = 2），则赌客应在每次机会中下注现有资金的 10%（f* = 0.1），以最大化资金的长期增长率。

其实公式的作者，John Larry Kelly，并不是一个资深赌徒，而是一位著名的物理学家，他发明这个公式的时候正是著名的AT&T的Bell Lab 中的一名研究科学家，研究方向是当时还算新兴前沿的电视信号传输协议。原本是为了协助规划电子比特流量设计，后来被引用于赌二十一点上去了。

当然上面的公式稍显复杂，拿来投资就想打败市场先生亦如天方夜谭，那么还有一个简洁优化的公式更具投资指导意义，叫凯利优化公式。

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凯利优化公式：2P-1=x

即2倍的成功概率P减去1等于可以用于下注的仓位。

例子：如果打败娱乐场的概率是55%，你应该下注2*0.55-1=0.1，即10%的仓位。如果赢率是70%，那么就拿出40%的仓位去赌。如果赢率是50%，公式告诉你，不要押注（即不要玩扔硬币游戏）。

当然，如果你知道赢面是100%，这个公式告诉你：押上全部资金。

凯利优化公式显示，投资的仓位取决于赔率和概率之间的关系。但事实没那么简单，看下面这个例子：

让一个5岁的小朋友与一个15岁的少年比赛 (两者都健康)。看谁能先跑完50米，以10元作为赌注。选择5岁小朋友的若胜利，可以获得100元奖励（选择a），而选择15岁小朋友胜利的只能得到5元奖励（选择b），这里赔率是20。 

但考虑到除非发生少年不慎摔倒等小概率事件，否则5岁小朋友毫无胜算。所以可设定15岁少年获胜的概率高达99%。在这种情况下，b选择可以投入几乎全仓，而a选择应该1分钱都不投入。

可见赔率虽然重要，但获胜概率才是最关键的因素。当获胜概率相当时, 具有更好回报弹性(即赔率)的投资更有吸引力，但若获胜概率过低，那么再高的赔率也毫无意义。

上面案例中，判断15岁孩子能胜过5岁孩子是很简单的事，但是股票市场何其复杂，所谓的获胜概率和赔率都是一个非常主观的判断，如果没有非常深度的研究，那更是瞎猜。

因此，凯利公式不是万能的，那些钟情于凯利公式的投资者其实更应该将精力放在对获胜概率的研究上。

更好的策略是，将凯利优化公式看成是一种思维和思考方式，一种能够让你理性控制仓位的参考工具，在你准备下注时，不妨先用笔写下获胜的概率是多少，从而指导你的仓位。避免头脑发热的盲目加仓是这个公式给我们的意义。

凯利公式模型对于集中投资者是个具有吸引力的工具，不过它只能使认真运用它的人受益。运用该模型要认清其三个局限。

1)无论是否使用模型，投资者都应该做好一个长期的打算。比如选中好标的，但市场却不能及时做出反应。

【思考：格力电器市场长期给予个位数市盈率】

2)谨慎使用杠杆（赔率）。格雷厄姆和巴菲特都极力反对借钱投资股票（包括使用融资账户）。往往在你最需要钱的时候，反而接到意想不到的电话要求追加资金。如果你在融资融券账户中使用凯利模型，一旦遇到股市大跌，你可能被迫要卖出所有的股票，从而出局，即使你本来具有很高的成功概率P。

【箴言：买进的绝佳机会出现在资产持有者被迫卖出的时候，在经济危机中这样的人比比皆是。---霍华德·马克斯】

3)在玩大概率游戏时，最大的风险就是过度押注。可以使用半凯利模型。例如凯利模型告诉你使用10%的资金，你只用5%。半数或部分凯利模型提供了安全边际。

但减少风险的同时意味着减少收益。然而，由于凯利模型的抛物线关系，少量押注的破坏性风险总是好于过度押注。减少50%投资数量的半数凯利模式，仅仅减少25%的潜在收益。

关于概率的思考：对于数学家而言，概率降低了吗？

有一个关于数学家的故事，由于他经常要坐飞机旅行，但他却非常害怕碰到飞机上带炸弹的恐怖分子。因此他决定每次坐飞机都自己带一个炸弹:这样一来同一架飞机上同时出现两个带炸弹的人的梃率可就小得多了。类似的事情在第二次世界大战时也曾发生，士兵们在战场上经赏躲入弹坑，因为丛概率上来讲同一个弹坑再次被一枚炸犟炸史的概率要更低些。

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再看看投资大师关于下注的言录：

巴菲特说：“在你做出投资时，你应该具有这样的勇气和信念，至少将你10%的身家放在那只股票上。”

由此，你可以看出为什么巴菲特说，理想的组合持股不应该超过10只股票，因为每一个的仓位是10%。但是，集中投资并非简单地发现10只好股票，然后平均分为10份。即便组合中持有的10只股票都是好公司，其中的一些一定具备更好的回报，那么它们将占据更大的份额。

巴菲特还说：

“我们所要做的全部就是，将盈利概率乘上可能盈利的数量，减去亏损概率乘上可能亏损的数量。”，“如果我遇到一个机会，有90%的可能赚3美元，同时有10%的可能亏9美元，那么2.70美元减去0.90美元，从数学上看，我还有1.80美元的赚头。”

接下来，巴菲特说，你需要考虑时间跨度，用这个投资项目的回报与别的投资项目进行比较。如果你买了每股27美元的雅培，潜在回报是6.6%。（1.8美元/27美元）。如果整个交易6个月完成，那么年化回报率为13.2%。

巴菲特也承认，这样的风险对冲会存在亏损的可能。他说：“对于一些特定的事件，例如对冲的机会，我们绝对愿意冒一些损失金钱的风险。对于我们实在算不清楚的机会，我们就不参与了。我只参加那些我们能算清账的投资。”

1994年，芒格为南加州大学商学院的师生们做了一次演讲，演讲中，他谈到了概率和优化的思考：他说：“模型简化了股市中所发生的事情，它就像赛马场上的赌注计算系统。如果你停下来想一想、赛马场就是股市，每个人去到那里，然后下注，赔率随着下注的变化而变化，这同样也发生在股市上。”

他继续说：“连傻子都看额出来，一匹具有良好比赛记录、负重轻、占据好位置的赛马，比那些比赛记录平平、负重沉重的赛马，更具胜出优势。但是当你看到赔率时，发现好马的赔率是100:1，而一般的马赔率是3:2，那么从统计学上说，很难说押哪一匹马更有把握。价格、 赔率在不断调整，所以战胜系统很难。”

当然，芒格也告诉了我们一个投资的诀窍：“对我们来说，投资等于出去赌马，我们要寻找一匹获胜几率是两分之一、赔率是一赔三的马。你要寻找的是标错赔率的赌局。这就是投资的本质。你必须拥有足够多的知识，才能知道赌局的赔率是不是标错了。这就是价值投资。”

小结

凯利公式帮助投资者用概率方法反思股票投资，运用它你将优化自己的投资方法并从中受益。想想巴菲特1988年购买可口可乐，他投入了1/3资金在其中，这样的机会难得一见；而在投资美国运通时他投入了合伙企业净值的四成。

芒格说：当世界给予你机会的时候，聪明的投资者会出重手。当他们具有极大赢面时，他们会下大注。其余的时间里，他们做的仅仅是等待。就是这么简单。

巴菲特也说：“当天上掉金子的时候，记得要用桶去接，而不要用顶针。”