德州扑克中的数学——随机与大数定律

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德州扑克中的数学——随机与大数定律


最近在研究量化投资的逻辑链条。其中为了解决不同策略的仓位管理,重拾了著名的凯利公式,然后研究了最早最有名的实践——爱德华·索普的21点策略,于是也认真思考总结了一下赌场唯二的可能有超过50%胜率的游戏——德州扑克的策略与背后的数学逻辑,进而更加印证了:概率、统计、赌博、投资无与伦比的一统性——也难怪索普可以“战胜一切市场”,也难怪投资人士是如此的热爱赌博。

本文可以理解为德州扑克的浅显总结,尝试着用数学的角度阐述所谓的策略,这个过程中所得到的心得似乎也完全可以运用到任何其他事情的分析上,当然包括投资。不过更细节的游戏策略与概率计算不在本文范畴中。

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随机与大数定律

开始之前,我们要回顾一下概率统计理论的基础概念和规律。

什么叫概率,简单来说就是一件事情发生的可能性,这里我们就只用最通俗最初级的理解即可,毕竟这不是探讨概率论的数学论文。

比如抛硬币,不考虑力量、角度、风阻等物理细节,硬币落下后朝向是正是反,应该是各一半的几率,也就是正面朝上概率是50%;

比如丢骰子,数字5朝上的概率应该是1/6,数字不小于4的概率等于数字是4的概率加上数字是5的概率加上数字是6的概率,也就是1/2;

再比如一局12人狼人杀开始前,每个人拿到预言家的概率都是1/12,拿到神的概率是1/3,拿到民的概率是1/3,拿到狼的概率是1/3。

什么叫频率,就是一件事重复发生很多次,其中某一结果出现个次数占总次数的比例。

比如抛100次硬币,正面朝上出现了54次,那么正面朝上的频率就是54%,再抛1000次,正面朝上出现了522次,那么正面朝上的频率就是522/1000;

比如丢80次骰子,数字5朝上发生了6次,那么频率就是6/80=7.5%,数字不小于4发生了37次,那么频率就是37/80=46.25%;

再比如打了一晚上6局狼人杀,小明拿了2次预言家,小王拿了5次狼人,那么小明拿预言家的频率就是2/6=33.33%,小王拿狼人的频率就是5/6=83.33%。

可以看到概率一般我们是根据事物背后运行逻辑来计算的理论值,也就是不随着事件发生而改变,但频率是观察到的事件,既是确定的——一旦发生结果就是确定的了,又是不确定的——每抛100次硬币、丢100次骰子、打一天狼人杀出现的频率都可能不一样。

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再比如:起手AsAh对上2d7c,翻牌前AsAh胜率87.69%,2d7c胜率只有(也还有)12.67%;常见的KhKs对上6d7d,翻牌前KhKs胜率77.03%,6d7d胜率23.25%,但实际打牌中,可能运气不好的玩家在拿到KK的有限次数里,可能都被suited的连续张BadBeat,频率完全达不到77%,但运气好(技术好)的玩家可能每次用KK都能稳稳赢下底池。

所以概率是集体,频率是个体;概率是均值,频率是波动;概率是主线,频率是扰动;概率是规律,频率是表现。这背后的原理就是大数定律——样本数量很大的时候,样本均值和真实均值充分接近。(不写公式,不写证明,理解意思即可。)

所以啊,我们要知道德州扑克(任何一种赌博)是一个随机事件,你可能拿到任何的牌,对手也可能拿到任何的牌,翻牌转牌河牌也可能出现任何的牌。而一局游戏打到最后所有人亮开底牌,结果都是唯一确定的。既然2d7c对上AsAh都还有12.67%的概率取胜,那么牌桌上出现2d7c,翻出2s2h7s8c8h击败AsAh的事情,就是一件很平常的事儿了。毕竟每100次这样的事情可能会发生13次,1000次可能会发生127次。总有一个夜晚,当你只拿了一次AA会遇到这样的“惨案”。

那么如何在随机的世界(发牌)中,找到一点确定性,从而让我们通过坚持某些规则(也就是策略)来获得这种确定性呢?支撑我们每次拿AA去玩牌而不是27o去玩牌的逻辑在哪里呢?

答案就在大数定律——靠着玩牌次数足够多(样本数量足够大)来获取频率趋近于概率的确定性(大数定律),结合筹码创造有利于自己的赔率,从而获得长期总量的正收益(也就是+Expected Value,+EV)。

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大数定律在随机世界中给出了确定性的一个抓手,开启了概率统计世界的大门。

所以我们要认识到,一局、一晚上、甚至一年的德州扑克,胜负在天,无论你的胜率多大,你面对的对手都不是概率为0的事件,那么它就有可能发生,这是你无法控制和躲过的;而我们追求的永远是次数足够多之后,整体收益正向的收敛,这个收敛的量级其实很小,2-3bb/100手已经是相当不错的结果,这与我们单局经常几十bb浮动的盈亏显然不同。

确定性的唯一来源在于样本足够大,次数足够多,而这个足够二字显然不能够精准描述。但凡可以穷举的次数,都不构成足够大,一个人穷尽一生去玩牌,也未必能收敛到合意的水平,这是大自然给予“随机”最强大的力量。而支撑玩家坚持策略,不断尝试的关键就来自于“大数定律”,来自于数学上面严格的证明,来自于逻辑,来自于“确定”,来自于“随机”强大力量中隐含的自然规律。所以抱着这样的理念和信仰,我们就不再惧怕各种小概率事件的发生,这是随机的洪流中必然会溅到岸上的水花,开牌的一瞬间,与买彩票开奖无异,得之我幸失之我命。

这么一想,是不是每一手牌变得渺小了许多?输赢都是概率宇宙中一闪即逝的流星,badbeat又怎样,fold又怎样,不过是在慢慢征途中向着正确的目的地迈出的一步,这一步脚下是河流是沙地没什么所谓,重要的是,你的方向比其他的方向距离目的地更近。虽然有限时光未必能(不能)走到终点,但起码能看到远方朦胧的景色越来越清晰。

某种意义来说,数学亦是一种信仰。

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